TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

PENGERTIAN

Dalam matematika, sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana veriabel tak bebas tidak diberikan secara "eksplisit" dalam bentuk veriabel bebas. Menyatakan sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x:

${\displaystyle y=f(x)}$

Sebailknya, sebuah fungsi adalah implisit apabila nilai y didapatkan dari x dengan memecahkan persamaan dalam bentuk:

${\displaystyle R(x,y)=0}$

Dengan kata lain, sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya, tetapi kita tidak diberikan rumus eksplisit untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya.
Secara formal, sebuah fungsi f:X→Y dikatakan sebagai fungsi implisit apabila fungsi tersebut memenuhi persamaan:

${\displaystyle R(x,f(x))=0}$

untuk semua x∈X, dengan R adalah fungsi pada perkalian cartesian X × Y.

Fungsi implisit sering berguna dalam keadaan yang tidak memudahkan buat memecahkan persamaan dalam bentuk R(x,y) = 0 untuk y yang dinyatakan dalam x. Bahkan bila memungkinkan untuk menyusun ulang persamaan ini untuk memperoleh y sebagai fungsi eksplisit f(x), hal ini boleh jadi tidak diinginkan, karena pernyataan f jauh lebih rumit dari pernyataan R. Dalam keadaan lain, persamaan R(x,y) = 0 mungkin tidak dapat menyatakan suatu fungsi sama sekali, dan sebenarnya mendefinisikan fungsi bernilai ganda. Bagaimanapun, dalam banyak keadaan, bekerja dengan fungsi implisit masih dimungkinkan. Beberapa teknik dari kalkulus, seperti turunan, dapat dilakukan dengan relatif mudah menggunakan fungsi implisit. 

CARA MELAKUKAN TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

1. Menurunkan Persamaan-Persamaan Sederhana dengan Cepat

     a. Turunkan suku-suku x seperti biasa.       
         Saat mencoba menurunkan persamaan multi variabel seperti x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, mungkin sulit untuk mengetahui dari mana harus memulai. Untungnya, langkah pertama dari turunan fungsi implisit adalah langkah termudahnya. Turunkan saja suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa (eksplisit) untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara. 

     b. Turunkan suku-suku y dan tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing sukunya.

         Untuk langkah Anda selanjutnya, turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jika Anda menurunkan y², maka turunannya menjadi 2y(dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara.

     c. Gunakan aturan hasil kali atau aturan hasil bagi untuk suku-suku yang memiliki x dan y.

         Mengerjakan suku-suku yang memiliki x dan y agak sedikit rumit, tetapi jika Anda mengetahui aturan hasil kali dan hasil bagi untuk turunan, Anda akan mudah mengerjakannya. Jika suku-suku x dan y dikalikan, gunakan aturan hasil kali ((f × g)' = f' × g + g × f'), mensubtitusikan suku x untuk f dan suku y untuk g. Sebaliknya, jika suku-suku x dan y saling membagi satu sama lain, gunakan aturan hasil bagi ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), mensubstitusikan suku pembilang untuk f dan suku penyebut untuk g. 

      d. Sendirikan (dy/dx). 

          Menyelesaikan persamaan (dy/dx). Hal ini tampaknya sulit, tetapi biasanya tidak — ingatlah bahwa dua suku a dan b apa pun yang dikalikan oleh (dy/dx) dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx) karena sifat distributif perkalian.^[3] Taktik ini dapat memudahkan proses menyendirikan (dy/dx) — pindahkan saja semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx). 

2. MENGGUNAKAN TEKNIK TEKNIK LANJUT 

    a. Masukkan nilai (x, y) untuk mencari (dy/dx) untuk titik apa pun.
        Selamat! Anda sudah menurunkan persamaan Anda secara implisit — bukanlah pekerjaan yang mudah untuk percobaan pertama! Menggunakan persamaan ini untuk mencari gradien (dy/dx) untuk titik (x, y) apa pun semudah memasukkan nilai-nilai x dan y untuk titik Anda ke sisi kanan persamaan, kemudian mencari (dy/dx). 

     b. Gunakan aturan rantai untuk fungsi-dalam-fungsi.
         Aturan rantai adalah bagian pengetahuan yang penting untuk dimiliki saat mengerjakan soal-soal kalkulus (termasuk soal-soal turunan fungsi implisit). Aturan rantai menyatakan bahwa untuk fungsi F(x) yang dapat ditulis sebagai (f o g)(x), turunan F(x) sama dengan f'(g(x))g'(x). Untuk soal-soal turunan fungsi implisit yang sulit, hal ini berarti bahwa mungkin untuk menurunkan bagian persamaan individu yang berbeda, kemudian menggabungkan hasilnya. 

     c.Untuk persamaan dengan variabel-variabel x, y, dan z, carilah (dz/dx) dan (dz/dy).
        Meskipun tidak biasa dalam kalkulus dasar, beberapa penerapan lanjut mungkin membutuhkan turunan fungsi implisit dari lebih dari dua variabel. Untuk masing-masing variabel tambahan, Anda harus mencari turunan tambahannya terhadap x. Misalnya, jika Anda memiliki x, y, dan z, Anda harus mencari baik (dz/dy) dan (dz/dx). Kita bisa melakukan hal ini dengan menurunkan persamaan terhadap x sebanyak dua kali — pertama, kita akan memasukkan (dz/dx) setiap kali kita menurunkan suku yang mengandung z, dan kedua, kita akan memasukkan (dz/dy) setiap kali kita menurunkan z. Setelah ini, hanya masalah menyelesaikan (dz/dx) dan (dz/dy).