TURUNAN FUNGSI DAN ATURAN RANTAI

PENGERTIAN


TURUNAN
Pengertian Turunan Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.
Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan \frac{dy}{dx} atau  \frac{df(x)}{dx} atau y’ dan didefinisikan sebagai:
f'(x) =\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

TURUNAN FUNGSI
Turunan Fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalkan fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika dan Fisika berkebangsaan inggris yaitu Sir Isaac Newto (1642 – 1727) dan Ahli matematika bangsa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah-masalah didalam bidang geometri dan mekanika.Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali digunakan didalam berbagai bidang keilmuan.Sebut saja dalam bidang ekonomi: digunakan untuk menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan.Dalam bidang biologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan organismeDalam bidang fisika: digunakan untuk menghitung kepadatan kawat,Dalam bidangkimia: digunakan untuk menghitung laju pemisahanDan dalam bidang geografi dan sosiologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

ATURAN RANTAI
Aturan rantai merupakan aturan yang digunakan untuk menyelesaikan turunan fungsi komposisi. Aturan ini membantu menyelesaikan turunan fungsi yang terdiri dari komposisi dua fungsi atau lebih. Cara menyelesaikannya adalah memecah komposisi fungsi tersebut menjadi beberapa peubah.


Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar
Dengan definisi turunan akan dicari rumus-rumus turunan fungsi aljabar yang terdiri dari fungsi pangkat f(x) = x^n, hasil kali fungsi f(x) = u(x) . v(x), hasil pembagian fungsi  f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}, dan pangkat dari fungsi f(x) = (u(x))^n.

a. Rumus turunan fungsi pangkat f(x) = x^n
Fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} sebagai:
f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}
= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}
= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})
= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}
Jadi rumus turunan fungsi pangkat adalah:
f'(x ) = nx^{n-1}

b. Rumus turunan hasil kali fungsi f(x) = u(x) \cdot v(x)
Fungsi f(x) yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), turunannya didapat dengan:
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}
=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}
= \lim \limits_{h\to0}u(x+h) \cdot \lim \limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h\to0}v(x)
= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)
u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'
Jadi rumus turunan fungsinya adalah:
f'(x)=u'v+uv'

c. Rumus turunan fungsi pembagian f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}
sehingga
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}
=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)} - \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)}
=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}- \lim\limits_{h\to0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
= u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)} \cdot v'(x)
=\frac{u'(x)v(x)}{v(x)v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \rightarrow\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(u(x))^2} \rightarrow \frac{u'v-uv'}{v^2}
Jadi rumus turunan fungsinya adalah
f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}

d. Rumus turunan pangkat dari fungsi f(x)=(u(x))^n
Ingat jika f(x) = x^n, maka:
f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \frac{dx^n}{dx} = nx^n-1
Karena f(x) = (u(x))^n=u^n, maka:
f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}
Atau
f'(x) = \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} = nu^{n-1} \cdot u'
Jadi rumus turunan fungsinya adalah:
f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

UJI KECEKUNGAN DALAM MENENTUKAN TITIK BELOK FUNGSI

Gambar
Perhatikan grafik fungsi berikut !                         Dari grafik fungsi diatas dapat dilihat bahwa : 1.  f cekung ke bawah pada interval x < a atau b < x < c 2.  f cekung ke atas pada interval a < x < b atau x > c. Titik (a, f(a)), (b, f(b)) dan (c, f(c)) disebut  titik belok  dimana pada titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya. Kecekungan Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah . Definisi Kecekungan Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang t...
Baca selengkapnya