LIMIT BENTUK TAK TENTU DAN ATURAN L'HOPITAL

 PENGERTIAN

Limit Bentuk
        Pada limit fungsi trigonometri, telah diketahui bahwa :

Perhatikan bentuk limit ini untuk x->0 , limit pembilang dan penyebutnya nol. Bentuk ini dinamakan bentuk tak tentu 0/0.  Ada 7 macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :

Aturan L'Hôpital
       merupakan derivatif (turunan) untuk membantu dalam menentukan nilai limit yang melibatkan bentuk tak tentu. Penerapan (atau berulang penerapan) dalil ini akan mengubah bentuk tak tentu menjadi bentuk tertentu, sehingga nilai suatu limit mudah ditentukan. Aturan ini dinamai Guillaume de l'Hospital setelah abad ke-17 yang diterbitkan dalam bukunya Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (1696), buku teks pertama kalkulus diferensial. Namun, diyakini bahwa dalil itu ditemukan oleh matematikawan Swiss Johann Bernoulli.

Dalam bentuk yang paling sederhana, dalil l’Hôpital menyatakan bahwa untuk fungsi ƒ dan g:

Jika   ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$ atau ${\displaystyle \pm \infty }$   dan   ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$   ada,
maka   ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

Untuk membuktikan teorema ini, digunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, seperti berikut:

  
TEOREMA NILAI RATA-RATA YANG DIPERLUAS

Jika f dan g memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) dan kontinu pada [a, b] sedemikian sehingga g’(x) ≠ 0 untuk setiap x di dalam (a, b), maka ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga,

Bukti Kita dapat menganggap bahwa g(a) ≠ g(b), karena jika tidak, menurut Teorema Rolle, akan mengakibatkan g’(x) = 0 untuk suatu x di (a, b). Sekarang, didefinisikan h(x) sebagai berikut.

Maka

dan

dan dengan menggunakan Teorema Rolle, ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga

yang menyebabkan bahwa,

Setelah membuktikan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, sekarang perhatikan Teorema L’Hôpital berikut.

Contoh 

1. Bentuk Tak Tentu 0/0

Tentukan nilai limit dari (e^2x – 1)/x untuk x mendekati 0.

Pembahasan Karena dengan menggunakan substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0,

sehingga dapat diterapkan Aturan L’Hôpital, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

2. Penerapan Aturan L’Hôpital Lebih dari Satu Kali

Tentukan limit x²/e^–x untuk x mendekati negatif tak hingga.

Pembahasan Karena dengan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu ∞/∞, maka gunakan Aturan L’Hôpital.

Limit ini masih menghasilkan bentuk tak tentu (–∞)/(–∞), sehingga Aturan L’Hôpital dapat diterapkan kembali.